مثال، راهی برای فهم مسئله

مدرس کلاس نظریه اعداد خودش را می کشد تا دانشجویان قبل از شروع اثبات، از صورت قضیه برای خودشان مثال بزنند. ولی دانشجویان معمولا این کار را انجام نمی دهند و سریع سراغ راه حل های جبری می روند. دیروز هنگام حل مسئله فصل شش، دوباره این خواهش از سوی مدرس در کلاس مطرح شد. من کنار یکی از دانشجویان ردیف جلو نشسته بودم. با وجود خواهش مدرس، بازهم این دانشجو سعی می کرد بدون هیچ مثالی، فقط از قضیه ها و تعریف ها استفاده کند و قضیه را ثابت نماید.

از او خواستم چند تا مثال بزند و با این مثال ها من را هم در جریان قضیه قرار دهد. ناتوانی عجیب او در یک مثال ساده مرا شگفت زده کرد. ولی همین دانشجو از صورت قضیه های فصل قبل استفاده کرد و مسئله موردنظر را حل کرد!

به نظر می رسید دلیل ناتوانی او، از عدم باورش نسبت به نقش مثال در حل مسئله ناشی می شود. او با بی میلی تمام سعی می کرد مثالی بیاورد. بعد از این که مثال زد، در روند حل مسئله به هیچ عنوان به این مثال فکر نمی کرد. انگار فقط برای خوشحالی دل من، مثال را گفته بود!

دقیقا نمی دانم این نوع نگاه صرفا نمادین، از چه زمانی در ذهن دانشجویان ریاضی ایجاد می شود. ولی تقریبا مطمئن هستم، این نگاه در دانش آموزان سال های آغازین دبیرستان وجود ندارد.

هفته پیش با گروهی از دانش آموزان دوم دبیرستان تلاش کردیم مسئله ای مربوط به باقیمانده چینی را حل کنیم. از 60 نفر دانش آموز فقط 9 نفر می خواستند با نمادها کار کنند. بقیه به شکل زیبایی با اعداد کلنجار می رفتند. از بستر این نوع تفکر، راه حل های جالبی هم پیدا کردند. 

آنهایی هم که با نمادها کار می کردند، متوجه شدند از این طریق راه به جایی نخواهند برد و خیلی زود به دوستانشان پیوستند. در ادامه، جداکردن دانش آموزان از تفکر عددی و رفتن به سوی نمادها کار آسانی نبود.

دانشجویان ریاضی گمان می کنند با درگیر شدن با مثال ها، راه خود را در مسیر حل مسئله گم می کنند و تنها وقت خود را هدر می دهند. البته این نوع تفکر از عدم کنترل مثال ها توسط آنها و ناتوانیشان در هدایت مثال ها در جهت حل مسئله هم بوجود می آید.

هنوز به این سوال فکر می کنم که از چه زمانی تفکر نمادین بر مثال برتری می یابد؟ واقعا وقتی دانشجویان هیچ مثالی نمی زند، چگونه نسبت به مسئله حس پیدا می کنند؟

اگر تجربه ای از حل مسئله با مثال دارید، برایمان بگویید. شاید شما هم به مثال عقیده ندارید و آن را گمره کننده می دانید.

حس سنج

کلاس درس نظریه اعداد بخشی از جریان طبیعی و پیوسته زندگی است. این را برای این می گویم که نمی توانی دقیقا مشخص کنی کلاس از این لحظه شروع می شود و در این لحظه به پایان می رسد. در بین درس خیلی جاها به تاریخ ریاضی اشاره می شود. این تذکرها به موقع است و این حس را در دانشجویان ایجاد می کند که دارند یک دنیای پویا را تجربه می کنند.

این اشارات مناسب، از تسلط بسیار خوب مدرس کلاس بر تاریخ ریاضی ناشی می شود. برای نمونه، وقتی می خواست بچه ها اعداد را به جای این که به شکل باقی مانده نگاه کنند به صورت همنهشتی ببینند، به سختی ایجاد این نگاه در تاریخ ریاضیات که نزدیک به ۱۰۰ سال طول کشیده اشاره کرد تا احیانا دانشجویان احساس حقارت نکنند!

برای حل تمرین از دانشجویان می خواهد شماره ای رابگویند تا آن شماره پای تخته بیاید. وقتی بچه ها اعداد فرما و مرسن را خوانده بودند از آنها می خواست برای شماره، عدد اول فرما یا مرسن بگویند. این عمل حس وجود این اعداد را در بچه ها تقویت می کرد.

وقتی در روز دانشجویان، کسی پای تخته میاید، اولین سوالی که از او می پرسد این است که کدام قسمت برایت هیجان انگیزتر بود، همان را حل کن. به نظر من این سوال تاثیر خوبی در نگاه عمیق تر دانشجویان به قضیه ها و سوال های کتاب دارد.

هنگام اثبات قضایا روز فوران انتقال این حس هاست. تاکنون سه مبحث اصلی سرکلاس بحث شده است. سه تایی های اقلیدسی، معادلات پل و تقابل مربعی. که در اولی و آخری بیشتر مطالب مربوط به صورت قضیه ها و اثبات آنها را دانشجویان خودشان حدس زدند و اثبات کردند. ولی در معادلات پل بیشتر مطلب را مدرس کلاس اثبات کرد. وقتی سه تایی های اقلیدسی و تقابل مربعی درس داده می شد، احساس می کردم شاهد یک جریان طبیعی در کلاس هستم.

ولی هنگام تدریس معادلات پل انگار شاهد یک فیلم یا بهتر بگویم یک تئاتر بودم. این نمایش برایم جذاب بود. طوری که وقتی هم گروهیم گفت که کلاس بعدیمان دیر می شود، جواب دادم"بذار ببینیم آخرش چی میشه".ولی احساس آرمش و پویایی دو قسمت دیگر را برایم نداشت.

البته مدرس کلاس نقشش را در این نمایش بسیار خوب ایفا کرد. به گونه ای اگر نمی دانستم فکر می کردم ید طولایی در روش سخنرانی دارد. بعد از کلاس هم ابراز می کرد که این نوع تدریس انرژی زیادی به او داده و الان است که می فهمد چرا مدرسین ریاضی دست از سر این روش سخنرانی در کلاس برنمی دارند.

ولی نمی دانم چرا گاهی بچه ها آن حسی که انتظار می رود را درک نمی کند. قطعا من چیزی تحت عنوان حس سنج ندارم تا حس های آنان را اندازه بگیرم. ولی گاهی بی علاقه ای آنها به حل مسئله این دیدگاه را درمن تقویت می کند.

الان درباره نداشتن حس بچه ها، دچار تردید شدم. با چند نفرشان که صحبت کردم نسبت به روند کلاس ابراز علاقه زیاد می کردند.  ولی مدرس کلاس معتقد است که مدت زیادی طول کشیده تا متوجه شود که ممکن است دانشجویان از کلاس لذت ببرند ولی چیزی یاد نگیرند. من تاکنون چنین تجربه ای نداشتم.شما چطور؟ تا حالا پیش آمده از کلاس ریاضی لذت ببرید ولی مطلب ریاضی موردنظر را یاد نگیرید.

پ.ن. این روزها افتادم به مقاله خواندن. خواندن مقاله طوری است که هر چه می خوانی تشنه تر می شوی. ولی تلاش می کنم آن اندازه نخوانم که مانع فکرکردن خودم شود. سعی می کنم خلاصه این مقاله ها را به طور جداگانه برای علاقمندان در وبلاگ بگذارم.

پ.ن. به خاطر تاخیر در گذاشتن پست از همه خوانندگان مشتاق عذر می خواهم. چند روزی رفته بودم ولایت و درگیر مسابقه جدید خانه ریاضیات و دید و بازدیدهای خانوادگی بودم.

می دانم که چقدر منتظر پست جدید بودید!